sexta-feira, 27 de maio de 2016

Tradução de dois artigos

Realize a tradução de dois artigos com algum interesse histórico:

  1. Reflexões sobre a potência motora do fogo: primeira tentativa do estabelecimento de uma teoria sobre o funcionamento das máquinas térmicas e que pode ser considerado como o trabalho que fundou a disciplina da Termodinâmica.
  2. Sobre um aparato de expansão que permite tornar visíveis os rastos de partículas ionizantes em gases e alguns resultados da sua utilização: descrição do primeiro aparato que permitia detectar partículas elementares e que contribui para o advento da Física das Partículas.

quinta-feira, 12 de maio de 2016

Alguns artigos interessantes na história do estudo dos buracos negros

Entre os objectos mais estranho estudados em Astrofísica contam-se os buracos negros e a história da sua descoberta e maturação da teoria tem, também, o seu interesse. Não considero aqui útil uma descrição do tópico no que concerne à sua divulgação. Dentro do âmbito do que aqui tenho colocado, torna-se certamente mais interessante publicar traduções dos artigos mais marcantes no desenvolvimento da sua teoria. Começo com estes:

  1. A massa máxima de estrelas anãs ideais
  2. Aplicações da teoria do gás electrónico de Pauli-Fermi ao problema das forças coesivas
  3. Sobre a matéria densa
  4. Sobre o campo gravitacional de uma esfera de fluido incompressível de acordo com a teoria de Einstein
  5. Sobre o campo gravitacional de uma massa pontual de acordo com a teoria de Einstein
  6. A densidade de estrelas anãs brancas
Nos dois últimos dos artigos aqui listados, Schwarzschild obteve duas soluções das equações de campo gravítico, uma para uma esfera de fluido e outra para uma massa pontual. Observa-se aí que, estando toda a matéria condensada no interior de uma esfera cujo raio é inferior a um raio crítico, a velocidade de escape de qualquer partícula que aí se encontre terá de ser superior à velocidade da luz. Tal objecto possui, portanto, as características de um buraco negro.
No primeiro dos artigos, Chandrasekhar determinou o limite para a massa de um gás degenerado de electrões que constitui um modelo preciso das estrelas anãs brancas. Esse artigo baseia-se na teoria dos gases electrónicos estudada anteriormente por outros autores. Tentarei continuar a pesquisar todos os artigos que permitam dar um seguimento coerente à história subjacente ao estudo dos buracos negros.

quarta-feira, 27 de maio de 2015

Tradução e resumo de alguns artigos conhecidos

Alguns dos artigos que tenho vindo a traduzir ao longo do tempo:
Sobre a Teoria Quântica das linhas espectrais por Bohr, no qual o autor estende a sua teoria dos estados estacionários do átomo de hidrogénio aos sistemas condicionalmente periódicos.
A lei da dispersão da teoria de Bohr do espectro e A teoria quântica da dispersão por Krammers desempenharam um papel importante no desenvolvimento da Teoria Quântica anterior à Mecânica das Matrizes e à Teoria Ondulatória.
Como infelizmente ainda não sou capaz de ler alemão, tentei apenas identificar os pontos essenciais até à teoria do último multiplicador, exposta por Jacobi nas suas famosas Lições sobre Dinâmica. Ficou de fora a teoria das transformações canónicas, que espero aqui vir a incluir mais tarde.

sábado, 2 de maio de 2015

As leis da reflexão e refracção em forma vectorial

Aqui há tempos publiquei um texto sobre a dedução da lei da refracção a partir do princípio do menor tempo (ver aqui). Agora, apresentarei uma demonstração semelhante da qual resultam as mesmas leis na forma vectorial.

A lei da reflexão na forma vectorial

Suponhamos que um raio de luz parte do ponto A, é reflectido no ponto P de uma superfície no espaço e chega ao ponto B. Se o raio viajar sempre no mesmo meio, o tempo de viagem entre os pontos A e B é dado por
\[\tau=\frac{1}{c}\left(\|\vec{r}_P-\vec{r}_A\|+\|\vec{r}_B-\vec{r}_P\|\right)\]
onde \(\vec{r}_A=\left(x_A,y_A,z_A\right)\) e \(\vec{r}_B=\left(x_B,y_B,z_B\right)\) nos dão respectivamente as coordenadas dos pontos A e B e
\[\vec{r}_P=\left(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\right)\]
dá-nos as coordenadas do ponto P mapeada pelos parâmetros \(u\) e \(v\) da superfície. O ponto P que minimiza o tempo percorrido pelo raio de luz é aquele que satisfaz as equações
\[\left\lbrace\begin{matrix}\frac{d\tau}{du}=0\\ \frac{d\tau}{dv}=0\end{matrix}\right.\]
Se definirmos
\[\begin{matrix}\vec{i}=\frac{\vec{r}_P-\vec{r}_A}{\left\|\vec{r}_P-\vec{r}_A\right\|}, & \vec{r}=\frac{\vec{r}_B-\vec{r}_P}{\left\|\vec{r}_B-\vec{r}_P\right\|}\end{matrix}\]
o sistema anterior escreve-se na forma equivalente
\[\left\lbrace\begin{matrix}\left(\vec{i}-\vec{r}\right)\cdot\frac{\partial\vec{r}_P}{\partial u}=0\\ \left(\vec{i}-\vec{r}\right)\frac{\partial\vec{r}_P}{\partial v}=0\end{matrix}\right.\]
Este resultado permite-nos concluir que o vector \(\vec{i}-\vec{r}\) é colinear com a normal \(\vec{n}\) à superfície. Convencionamos que esta normal tem o sentido tal que \(\vec{i}\cdot\vec{n}<0\). Sendo \(\alpha\) o factor da colinearidade, temos
\[\vec{i}-\vec{r}=\alpha\vec{n}\]
Se multiplicarmos escalarmente a equação por \(\vec{i}\) e \(\vec{r}\), e somarmos obtemos a conhecida lei da reflexão, nomeadamente,
\[\vec{i}\cdot\vec{n}+\vec{r}\cdot\vec{n}=0\]
e, portanto,
\[\alpha=2\vec{i}\cdot\vec{n}\]
Por fim, a lei da reflexão na forma vectorial vem dada pela expressão
\[\vec{r}=\vec{i}-2\left(\vec{i}\cdot\vec{n}\right)\vec{n}\]

A lei da refracção na forma vectorial

Se designarmos por \(v_i\) a velocidade da luz no meio \(i\) e por \(c\) a sua velocidade no vazio, definimos o índice de refracção \(\eta_i\) associado ao meio \(i\) por intermédio da expressão
\[v_i=\frac{c}{\eta_i}\]
Se um raio partir do ponto A situado no meio \(1\), for refractado no ponto P de uma superfície de separação entre os meios e chega ao ponto B situado no meio \(2\), o tempo que este demora a realizar o percurso é dado por
\[\tau=\frac{1}{c}\left(\eta_1\|\vec{r}_P-\vec{r}_A\|+\eta_2\|\vec{r}_B-\vec{r}_P\|\right)\]
Se definirmos o versor de transferência pela expressão
\[\vec{t}=\frac{\vec{r}_B-\vec{r}_P}{\left\|\vec{r}_B-\vec{r}_P\right\|}\]
o processo de minimização habitual conduz-nos ao sistema de equações
\[\left\lbrace\begin{matrix}\left(\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}\right)\cdot\frac{\partial\vec{r}_P}{\partial u}=0\\ \left(\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}\right)\cdot\frac{\partial\vec{r}_P}{\partial v}=0\end{matrix}\right.\]
isto é,
\[\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}=k\vec{n}\]
Se aplicarmos, à equação, o produto externo por \(\vec{n}\), obtemos a identidade
\[\eta_1\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)=\eta_2\left(\vec{t}\times\vec{n}\right)\]
Como todos os vectores considerados nos produtos vectoriais possuem norma unitária, a expressão anterior resume-se em
\[\eta_1\sin{\alpha_1}=\eta_2\sin{\alpha_2}\]
onde \(\alpha_1\) e \(\alpha_2\) são os ângulos formados pelos vectores de incidência e de refracção com a normal à superfície, respectivamente. Esta é a famosa lei da refracção.
Para resolvermos o problema a que nos propusermos, teremos de determinar o valor de \(k\). Voltemos então à equação de colinearidade
\[\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}=k\vec{n}\]
Multiplicamos escalarmente a equação por \(\eta_1\vec{i}\), depois por \(\eta_2\vec{t}\), somamos os resultados e reorganizamos os temos para obtermos
\[\eta_2\vec{t}\cdot\vec{n}=\frac{\eta_1^2-\eta_2^2}{k}-\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}\]
Se multiplicarmos escalarmente a mesma equação por \(\vec{n}\) obtemos
\[k=\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}-\eta_2\vec{t}\cdot\vec{n}\]
a qual, combinada com a equação anterior, nos proporciona a equação de segundo grau para \(k\),
\[k^2-2k\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}+\eta_1^2-\eta_2^2=0\]
A fórmula resolvente permite-nos escrever
\[k=\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}\pm\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}\]
uma vez que
\[\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2=\left|\begin{matrix}\vec{i}\cdot\vec{i} & \vec{i}\cdot\vec{n}\\ \vec{n}\cdot\vec{i} & \vec{v}\cdot\vec{n}\end{matrix}\right|=1-\left(\vec{i}\cdot\vec{n}\right)^2\]
Tendo calculado o valor de \(k\), temos então
\[\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}=\left(\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}\pm\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}\right)\vec{n}\]
Resta-nos determinar qual das soluções para \(k\) nos proporciona a expressão correcta. Para o efeito, multiplicamos escalarmente a equação anterior por \(\vec{n}\), surgindo a identidade
\[-\eta_2\vec{n}\cdot\vec{t}=\pm\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}\]
Como estamos a considerar que o raio de luz se move no sentido do meio com índice de refracção \(\eta_2\) e o vector normal aponta no sentido do outro meio, concluímos que nos interessa a solução com o sinal positivo, isto é,
\[\eta_1\vec{i}-\eta_2\vec{t}=\left(\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}+\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}\right)\vec{n}\]
ou
\[\vec{t}=\frac{\eta_1}{\eta_2}\vec{i}-\frac{1}{\eta_2}\left(\eta_1\vec{i}\cdot\vec{n}+\sqrt{\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)^2}\right)\]
se pretendermos determinar a direcção do raio refractado, conhecendo as direcções dos raios incidente e normal.

Ângulo crítico

A fórmula da refracção atrás apresentada vale apenas no domínio
\[\eta_2^2-\eta_1^2\left(\vec{i}\times\vec{n}\right)\ge0\]
Ora, se considerarmos um raio que incida na superfície paralelamente à direcção normal, o raio refractado será dado por \(\vec{t}=\vec{i}\). À medida que o raio de incidência se afasta da normal, o raio refractado afasta-se da normal até que seja atingido o ângulo de incidência \(\theta_i\) tal que
\[\sin\theta_i=\frac{\eta_2}{\eta_1}\]
Nestas condições vale a identidade
\[\vec{t}=\frac{\eta_1}{\eta_2}\left\lbrack \vec{i}-\left(\vec{i}\cdot\vec{n}\right)\vec{n}\right\rbrack\]
Para um ângulo \(\theta_i\) nestas condições, designado por ângulo crítico, temos \(\vec{t}\cdot\vec{n}=0\), isto é, o raio refractado tem a direcção tangente à superfície. Todos os raios que incidam na superfície, fazendo um ângulo com a normal superior ao ângulo crítico, são reflectidos.

sábado, 13 de dezembro de 2014

Descoberta de um novo princípio de Mecânica

O título Descoberta de um novo princípio de Mecânica foi dado por Euler ao seu trabalho sobre o movimento geral dos corpos sólidos com dimensões finitas. O autor defende neste interessante texto que os princípios da Mecânica dos corpos, anteriormente enunciados, encontram apenas aplicações nos casos simples dos movimentos compostos por uma translação e um movimento de rotação em torno de um eixo imóvel. De modo a poder descrever o movimento geral de um corpo sólido enuncia o seguinte princípio:
A descrição do movimento geral de um corpo obtém-se através da aplicação dos princípios de Mecânica a todos os elementos infinitesimais constituintes os quais admitem apenas movimentos de translação.
Além de resolver o problema dos corpos sólidos, defende que o princípio enunciado, apesar da sua simplicidade, encontra aplicações tanto nos domínios da Hidráulica bem como em campos da Física ainda por conhecer.

sábado, 31 de maio de 2014

O método dos elementos finitos

Publiquei o texto O método dos elementos finitos onde apresento uma brevíssima introdução ao método dos elementos finitos cujo propósito se prende com a resolução numérica de problemas em equações diferenciais com condições fornteira. O artigo constitui um extracto de um texto nos domínios da computação paralela.

sábado, 10 de maio de 2014

Partícula num campo uniforme cujo movimento é limitado a uma curva

Num texto anterior apresentei uma solução geral do problema do lançamento de projécteis, no qual é investigada a natureza do movimento de uma partícula que se encontra sujeita a uma força constante na direcção vertical e sentido de cima para baixo. Nesse problema, a partícula pode mover-se livremente. Neste artigo é apresentado o caso no qual a partícula se encontra cingida a mover-se ao longo de uma curva. Fisicamente, este modelo poderá descrever um objecto que se mova sobre uma calha. Suponhamos que a equação da curva se pode escrever na forma
\[\left\{\begin{matrix} x= x(\lambda) \\ y=y(\lambda) \end{matrix}\right.\]
É óbvio que o movimento da partícula pode ser descrito pela função \(t\to\lambda(t)\). Num instante \(t\) fixo, o deslocamento virtual da partícula tem a direcção da tangente à curva na configuração que esta assume nesse instante. Assim, os deslocamentos virtuais ao longo de cada eixo coordenado estão relacionados pelas equações
\[\left\{\begin{matrix}\delta x= \frac{dx}{d\lambda}\delta\lambda \\ \delta y=\frac{dy}{d\lambda}\delta\lambda \end{matrix}\right.\]
Designando por \(\delta\vec{r}=(\delta x,\delta y)\) o deslocamento virtual, sabemos que o movimento da partícula satisfaz o princípio dos trabalhos virtuais cuja equação é, para este caso,
\[\left(m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}-m\vec{g} \right )\cdot\delta\vec{r}=0\]
onde \(\vec{g}=(0,-g)\). Substituindo os deslocamentos virtuais coordenados, vem
\[\left(\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{d\lambda}+\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dy}{d\lambda}+g \frac{dy}{d\lambda} \right)\delta\lambda=0\]
e, como \(\delta\lambda\) é arbitrário, a equação torna-se equivalente a
\[\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{d\lambda}+\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dy}{d\lambda}+g \frac{dy}{d\lambda}=0\]
Se multiplicarmos a equação anterior por \(\frac{d\lambda}{dt}\) e tivermos em atenção que \(\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{\partial\lambda}\frac{d\lambda}{dt}\) e \(\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{d\lambda}\frac{d\lambda}{dt}\), esta poder-se-á escrever como
\[\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+gy\right]=0\]
Se integrarmos a equação obtemos imediatamente a equação da conservação da energia, nomeadamente,
\[\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+gy=E\]
Se substituirmos aqui as funções \(x\) e \(y\) pelas respectivas expressões em \(\lambda\), obtemos
\[\left(\frac{d\lambda}{dt}\right)^2\frac{\left(\frac{dx}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\lambda}\right)^2}{2}+gy=E\]
Uma vez que \(y=y(\lambda)\), estamos na presença de uma equação separável que se pode escrever na forma
\[\frac{\sqrt{\left(\frac{dx}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\lambda}\right)^2}}{\sqrt{2E-2gy}}d\lambda=dt\]
Tendo em conta que o arco de curva assume a forma
\[ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\lambda}\right)^2}d\lambda\]
a equação anterior escreve-se numa forma mais simples como
\[\frac{ds}{\sqrt{2E-2gy}}=dt\]
Esta expressão permite-nos averiguar o movimento de uma partícula que se move ao longo de uma linha recta partindo de um dado ponto com uma velocidade tangencial de módulo \(v\). Suponhamos que a equação dessa linha é da forma
\[\left\{\begin{matrix} x=\alpha\lambda\\ y=h-\beta\lambda \end{matrix}\right.\]
Segue-se que \(ds=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}d\lambda\) ficando a equação do movimento na forma
\[\frac{d\lambda}{\sqrt{v^2+2g\beta\lambda}}=\frac{dt}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\]
Integrando o primeiro membro da equação entre \(0\) e \(\lambda\) e o segundo entre \(0\) e \(t\), obtemos
\[\frac{\sqrt{v^2+2g\beta\lambda}}{g\beta}-\frac{v}{g\beta}=\frac{t}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\]
Resolvendo em ordem a \(\lambda\) fica finalmente
\[\lambda=\frac{1}{2}\frac{g\beta}{\alpha^2+\beta^2}t^2+\frac{v}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}t\]
Em coordenadas temos
\[\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\frac{g\alpha\beta}{\alpha^2+\beta^2}t^2+\frac{\alpha v}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}t\\ y=h-\frac{\beta v}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}t-\frac{1}{2}\frac{g\beta^2}{\alpha^2+\beta^2}t^2 \end{matrix}\right.\]
Claro que, fazendo \(\alpha=0\), forçamos a partícula a assumir a trajectória vertical que corresponde à trajectória da partícula livre que é atirada com uma velocidade vertical \(v\) da altura \(h\). Neste caso, a equação reduz-se a
\[\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=h-vt-\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix}\right.\]
como seria de esperar.
Suponhamos agora que estamos na presença de dois pontos, \(A\) e \(B\) com coordenadas \(\left(x_1,y_1\right)\) e \(\left(x_2,y_2\right)\) respectivamente e pretendemos determinar a forma da trajectória que torna o tempo de deslocamento entre ambos o menor possível. Este é conhecido como o problema da braquistócrona. Seja a trajectória procurada definida pelas equação \(y=y(x)\). A integração da expressão relativa à conservação da energia dá-nos
\[\int_{x_1}^{x_2}{\frac{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}{\sqrt{2E-2gy}}dx}=t\]
A função que minimiza o integral satisfaz a equação diferencial
\[\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial p}-\frac{\partial L}{\partial y}=0\]
onde \(p=\frac{dy}{dx}\) e
\[L\left(p,y\right)=\frac{\sqrt{1+p^2}}{\sqrt{2E-2gy}}\]
Se multiplicarmos a equação diferencial por \(p\) e aplicarmos a regra da derivada do produto, podemos escrevê-la como
\[\frac{d}{dx}\left(p\frac{\partial L}{\partial p}\right)-\frac{dp}{dx}\frac{\partial L}{\partial p}-p\frac{\partial L}{\partial y}=0\]
A regra da derivação da função composta proporciona-nos a expressão
\[\frac{dL}{dx}=\frac{\partial L}{\partial p}\frac{dp}{dx}+\frac{\partial L}{\partial y}p\]
a qual, substituída na equação anterior, transforma-a na seguinte
\[\frac{d}{dx}\left(p\frac{\partial L}{\partial p}-L\right)=0\]
que admite o integral imediato
\[p\frac{\partial L}{\partial p}-L=H\]
sendo \(H\) uma constante. Substituindo a função \(L\) e resolvendo, facilmente vemos que vale a expressão
\[(E-gy)\left(1+p^2\right)=\frac{1}{2H^2}\]
Trata-se de uma equação diferencial separável de primeira ordem. Se fizermos \(w=y-\frac{E}{g}\) transformamo-la em
\[(-gw)\left(1+q^2\right)=\frac{1}{2H^2}\]
onde \(q=\frac{dw}{dx}\). Procedendo da forma habitual no csao deste tipo de equações, escrevemos
\[dx=\sqrt{\frac{-gw}{K+gw}}dw\]
onde \(K=\frac{1}{2H^2}\). Resta-nos, pois, integrar as expressões em cada um dos membros, isto é,
\[x=\int{\sqrt{\frac{-gw}{K+gw}}dw}\]
Fazemos a substituição
\[\varphi^2=\frac{-gw}{K+gw}\]
ou, equivalentemente,
\[w=-K\frac{\varphi^2}{1+\varphi^2}\]
Esta transformação permite reduzir o integral de uma função algébrica ao integral da função racional
\[x=-K\int{\frac{2\varphi^2}{\left(1+\varphi^2\right)^2}d\varphi}\]
Se fizermos \(u=\varphi\), \(\frac{dv}{dw}=\frac{2\varphi}{\left(1+\varphi^2\right)^2}\) e aplicarmos a fórmula de integração por partes \(\int{u\frac{dv}{dw}dw}=uv-\int{\frac{du}{dw}vdw}\) obtemos
\[x=K\frac{\varphi}{\varphi^2+1}-K\int{\frac{d\varphi}{1+\varphi^2}}\]
A substituição típica \(\varphi=\tan{\frac{\theta}{2}}\) permite-nos escrever finalmente
\[x=\frac{K}{2}\left(\sin\theta-\theta+A\right)\]
sendo \(A\) a constante de integração. Se fizermos \(\theta=0\) quando \(x=0\), temos \(A=0\), \(\varphi=0\), \(w=0\) e, consequentemente, \(y=\frac{E}{g}\). Neste caso, \(\theta_1\) será o ângulo que, substituído na expressão para \(x\), proporciona \(x_1\). Convém notar que as várias transformações que aplicámos nos permitem escrever \(y\) como função de \(\theta\). Temos, portanto, as equações paramétricas
\[\left\{\begin{matrix} x=-\frac{K}{2}\left(\sin\theta-\theta \right )\\ y=\frac{E}{g}-\frac{K}{2}\left(1-\cos\theta \right ) \end{matrix}\right.\]
O sistema de equações
\[\left\{\begin{matrix} x_2=-\frac{K}{2}\left(\sin\theta_2-\theta_2 \right )\\ y_2=\frac{E}{g}-\frac{K}{2}\left(1-\cos\theta_2 \right ) \end{matrix}\right.\]
permite determinar o valor de \(K\) e \(\theta_2\) de modo que a curva procurada contenha os pontos enunciados no problema. Resta mencionar que a curva procurada recebe o nome de ciclóide. É interessante notar que a introdução da velocidade tangencial inicial \(v\) não nos conduz a um problema mais geral. De facto, Se a partícula partir do ponto \(A\) com velocidade tangencial \(v\) e chega ao ponto \(B\) no menor tempo possível ao longo de uma ciclóide então se esta for largada sem velocidade inicial do ponto \(C\) que fica no prolongamento dessa ciclóide e que tenha uma altura tal que a sua velocidade em \(A\) seja \(v\), reduzimos o problema com velocidade tangencial a um em que esta velocidade é nula.